Solutions-Marathi Medium-Class 10-विज्ञान आणि तंत्रज्ञान-भाग-१-पाठ-१-गुरुत्वाकर्षण-Maharashtra Board

वस्तुमान व वजन :

• वस्तूचे वस्तुमान पृथ्वीवर व मंगळावर समान असेल, परंतु वजन मात्र समान नसेल, कारण g चे मंगळावरील मूल्य पृथ्वीवरील g च्या मूल्यापेक्षा वेगळे आहे.

मुक्त पतन (Free fall) : एखादी वस्तू केवळ गुरुत्वीय बलाच्या प्रभावाने गतिमान असल्यास त्या गतीला मुक्‍त पतन म्हणतात.

गुरुत्वत्वरण : पृथ्वीच्या (अथवा इतर ग्रहाच्या / उपग्रहाच्या / ताऱ्याच्या) गुरुत्व बलामुळे वस्तूचे त्वरण होते. या त्वरणाला गुरुत्वत्वरण म्हणतात.

मुक्तिवेग : ज्या विशिष्ट आरंभ वेगामुळे पृथ्वीच्या (अथवा इतर ग्रहाच्या / उपग्रहाच्या / ताऱ्याच्या) पृष्ठभागापासून सरळ वर जाणारी वस्तू पृथ्वीच्या (अथवा त्या ग्रहाच्या/उपग्रहाच्या/ताऱ्याच्या ) गुरुत्वाकर्षणापासून मुक्‍त होते त्यास मुक्तिवेग म्हणतात.

अभिकेंद्री बल : वर्तुळाकार कक्षेत फिरणाऱ्या कोणत्याही वस्तूवर वर्तुळाच्या केंद्राच्या दिशेने बल प्रयुक्त होत असते. या बलास अभिकेंद्री बल म्हणतात.

केप्लरचा पहिला नियम : ग्रहाची कक्षा ही लंबवर्तु ळाकार असून सूर्य त्या कक्षेच्या एका नाभीवर असतो.

आकृती  मध्ये ग्रहाची सूर्या भोवतीच्या परिभ्रमणाची लंबवर्तु ळाकार कक्षा दाखविली आहे. सूर्याची स्थिती S ने दर्शवली आहे.

केप्लरचा दुसरा नियम : ग्रहाला सूर्याशी जोडणारी सरळ रेषा, ही समान कालावधीत समान क्षेत्रफळ व्यापन करते.

AB व CD ही ग्रहाने समान कालावधीत पार केलेली अंतरे आहेत म्हणजे समान कालावधी नंतर A व C पासून

असलेले ग्रहाचे स्थान क्रमश: B व D ने दाखवले आहे. आकृती मधील AS व CS या सरळ रेषा एका कालावधीत समान क्षेत्रफळ व्यापतात, समान कालावधीत ग्रहाचे विस्थापन A->B, C->D, E->F असे होते. आकृतीमधील ASB, CSD व ESFही क्षेत्रफले समान आहेत.

केप्लरचा तिसरा नियम : सूर्याची परिक्रमा करणाऱ्या ग्रहाच्या आवर्त कालाचा वर्ग हा ग्रहाच्या सूर्यापासूनच्या सरासरी अंतराच्या घनाला समानुपाती असतो. म्हणजे ग्रहाचा आवर्त काल हा T असेल व सूर्यापासून त्याचे सरासरी अंतर r असेल तर

T² µ r³,  म्हणजेच T²/ r³   = स्थिर = K ............. (1)

सोयीसाठी आपण ग्रहाची कक्षा वर्तुळाकार घेऊ. येथे S (वर्तुळाचे केंद्र) हे सूर्याचे स्थान, P  हे ठरावीक क्षणी ग्रहाचे स्थान व r म्हणजे वर्तुळाची त्रिज्या ( = सूर्य व ग्रह यांमधील , अंतर) होय. [आकृती ]

येथे ग्रहाची चाल एकसमान असून ती,

v =  एवढी असते.

ग्रहाचे वस्तुमान m असल्यास ग्रहावर सूर्याने प्रयुक्त केलेले अभिकेंद्री बल (= गुरुत्वाकर्षणाचे बल),

F = mv²/r

F = \(\frac{m(2πr/T)^2}{r}=\frac{4π^2mr^2}{T^2r}=\frac{4π^2mr}{T^2}\)

आता केप्लरच्या तिसऱ्या नियमानुसार, T² = Kr³

∴ F = \(\frac{4π^2mr}{Kr^3}=\frac{4π^2m}{K}(\frac{1}{r^3})\)

येथे, \(\frac{4π^2m}{K}\) =  स्थिरांक.

∴ F ∝ 1/ r²

गतीविषयक समीकरणे :  v = u + at   ……(1)

व  s = ut + \(\frac 12\)at²       ….... (2)

समीकरण (1) व (2) वरून

s = (v − at)t + \(\frac 12\)at² = vt − at² + \(\frac 12\)at²

∴ s = vt − \(\frac 12\)at² ... (3)

दगड वर जाताना (P→Q) [PQ = h] , s = h, t = t₁  a = −g, u = u व v = 0

∴ समीकरण (3) वरून

h = 0 − \(\frac 12\)(−g)t₁²

∴ h = \(\frac 12\)gt₁²                                   ….... (4)

दगड खाली पडताना (Q → P)

t = t₂, u = 0

∴ समीकरण (2) वरून   h = \(\frac 12\)gt₂²         ….... (5)

समीकरणे (4) व (5) वरून, t₁² = t₂²

∴ t₁ = t₂  ……(∵ t₁ व t₂   दोन्ही धन आहेत.)

होय. वस्तू जमिनीवरून ओढून नेताना वस्तू व जमिनीचा पृष्ठभाग यांमधील घर्षणबलाविरुद्ध कार्य करावे लागते. हे घर्षणबल वस्तूच्या वजनाशी समानुपाती असते. वस्तूचे वजन = mg.

g चे मूल्य अचानक दुप्पट झाले, तर वस्तूचे वजनही दुप्पट होईल. परिणामी वस्तू व जमिनीचा पृष्ठभाग यांमधील घर्षणबल पण दुप्पट होईल. त्यामुळे ती जड वस्तू जमिनीवरून ओढून नेणे दुपटीने अधिक कठीण होईल.

पृथ्वीच्या पृष्ठभागापासून केंद्राकडे जात असताना g चे मूल्य कमी होत जाते व पृथ्वीच्या केंद्राशी शून्य होते.

स्पष्टीकरण : पृथ्वी हा एकसमान घनतेचा व M वस्तुमान असलेला गोल आहे असे आपण मानू. खालील आकृती मध्ये दाखवल्याप्रमाणे पृथ्वीच्या पृष्ठभागाखाली d या खोलीवरील P हा बिंदू विचारात घ्या. या जागी m वस्तुमानाचा द्रव्यकण ठेवल्यास त्यावरील पृथ्वीचे गुरुत्वीय बल, F = \(\frac{GmM'}{(R-d)^2}\)

येथे R =  पृथ्वीची त्रिज्या व M’ = (R – d) त्रिज्या असलेल्या गोलाचे वस्तुमान,

(R – d) = P चे पृथ्वीच्या केंद्रापासूनचे अंतर.

घनता = वस्तुमान / आकारमान

∴  वस्तुमान =  आकारमान ×  घनता

∴ M’ = \(\frac 43\)π (R − d)³ × \(\frac{M}{\frac{4}{3}πR^3}\)

= \(\frac{M(R-d)^3}{R^3}\) येथे P च्या बाहेरील भाग (आकृती मधील भाग II) परिणामकारक नसतो.

P या स्थानी गुरुत्व त्वरण,

g = F/m = \(\frac{G}{(R-d)^2}×\frac{M(R-d)^3}{R^3}\)

= \(\frac{GM(R-d)}{R^3}\) याचे मूल्य पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील गुरुत्व त्वरणाच्या मूल्यापेक्षा \((\frac{GM}{R^2})\)  कमी आहे. d वाढल्यास g चे मूल्य कमी होते व पृथ्वीच्या केंद्राशी g = 0 (‘.’ d = R)

T = \(\frac{2π}{\sqrt{GM}}R^{3/2}\), येथे,

T =  ग्रहाचा ताऱ्याभोवतीच्या परिभ्रमणाचा आवर्तकाल, म्हणजेच परिभ्रमण काल,

M = ताऱ्याचे वस्तुमान,

G = गुरुत्व स्थिरांक

r = परिभ्रमण त्रिज्या, म्हणजेच ग्रहाचे ताऱ्यापासूनचे अंतर (ग्रहाची परिभ्रमण कक्षा वर्तुळाकार मानून).

आता, r = R असल्यास T = T₁

∴ T₁ = \(\frac{2π}{\sqrt{GM}}R^{3/2}\)

तसेच, r = 2R असल्यास T = T₂

∴ T₂ = \(\frac{2π}{\sqrt{GM}}(2R)^{3/2}\)

= \(\frac{2π}{\sqrt{GM}}R^{3/2}×2^{3/2}\) = T₁ × 2^3/2

∴ T₂ = \(\sqrt{8}\)T₁ = \(\sqrt{8}\)T

दिलेले : u = 0 m/s,  s = 5 m, t = 5 s, g = ?

s = \(\frac 12\)gt²

∴ 5 = \(\frac 12\)g (5)²

∴ g =\(\frac 25\)  m/s² = 0.4 m/s²

त्या ग्रहावरील गुरुत्वत्वरण = 0.4 m/s²

दिलेले : ग्रह ‘क’ ची त्रिज्या R_A  =  R_B/2, ( …ग्रह ‘ख’ ची त्रिज्या = R_B), ‘ख’ ग्रहावरील g चे मूल्य g_B = g_A/2

‘क’ चे वस्तुमान = M_A ‘ख’ ग्रहाचे वस्तुमान M_B = ?

g = \(\frac{GM}{R^2}\)

∴ g_A  = (\frac{GM_A}{R_A^2}\),  g_B  = (\frac{GM_B}{R_B^2}\)

∴ g_B /g_A  = \((\frac{R_A}{R_B})^2×\frac{M_B}{M_A}\)

∴ \(\frac 12\) = \((\frac 12)^2×\frac{M_B}{M_A}\)

∴ \(\frac{M_B}{M_A}\) = \(\frac 42\) = 2

∴ M_B = 2 M_A

∴ ख ग्रहाचे वस्तुमान = 2 M_A

दिलेले : m = 5 kg, W_E = 49 N, g_M (चंद्रावर) = g_E (पृथ्वीवर)/6, m_M (चंद्रावर) = ?, W_M (चंद्रावर) = ?

(i) वस्तूचे चंद्रावर वस्तुमान = वस्तूचे पृथ्वीवर वस्तुमान = m

m_M = m_E = m  = 5 kg.    ….( ‘.’ वस्तूचे वस्तुमान विश्‍वात सगळीकडे सारखे असते )

(ii) W = mg

∴ \(\frac{W_M}{W_E}=\frac{mg_M}{mg_E}=\frac{g_M}{g_E}\)

∴ W_M = W_E × \(\frac{g_M}{g_E}\) = 49 × \(\frac 16\) = 8.167 N

दिलेले :  h = 500 m, g = 10 m/s², v = 0 m/s, u = ?,

t (वस्तू वर जाण्यास) + t (वस्तू खाली येण्यास) = ?

वस्तू वर जाताना : v² = u² + 2as = u² + 2(−g)h  ….(‘.’ a = −g)

आता, v = 0 m/s, ∴ u² = 2gh

∴ u² = 2 x 10 x 500 = 10000 = (100 x 100) (m/s)²

∴ u = 100 m/s

वस्तूचा आरंभीचा वेग = 100 m/s

v = u + at = u – gt     (‘.’ a = −g)

आता, v = 0 m/s, ∴ u = gt

∴ 100 = 10 x t

∴ वस्तू वर जाण्यास लागणारा वेळ, t = 10 s

आता, t (वस्तू खाली येण्यास) = t (वस्तू वर जाण्यास) t = 10 s …[ संदर्भासाठी वरील प्रश्न 2 (ई) पाहा.]

∴ t (वस्तू वर जाण्यास) + t (वस्तू खाली येण्यास) = 10 + 10  = 20 s

वस्तूस वर जाऊन परत खाली येण्यास 20 s लागतील.

दिलेले : t = 1 s, g = 10 m/s², u = 0 m/s, s = ?, v = ?

(i) s = ut + \(\frac 12\)gt²

येथे, u = 0 m/s ∴ s = \(\frac 12\)gt²

∴ s = \(\frac 12\) × 10 × (1)² = 5 m

∴ टेबलाची उंची = 5 m

(ii) u = v + at = v + gt

= 0 + 10 × 1

= 10 m/s

चेंडूचा जमिनीवर पोहोचतानाचा वेग = 10 m/s

दिलेले : M_e = 6 x 10²⁴ kg, M_m = 7.4 x 10²² kg, r = 3.84 x 10⁵ km = 3.84 x 10⁸ m, G = 6.7 x 10^-11 Nm²/kg² , F = ?

F = \(\frac{Gm_Em_M}{r^2}\) = \(\frac{6.7×10^{-11}×6×10^{24}×7.4×10^{22}}{(3.84×10^8)^2}\)  

= \(\frac{6.7×6×7.4×10^{35}}{3.84×3.84×10^{16}}\)

= 2.017 x 10²⁰ N

हे पृथ्वी व चंद्र यांमधील गुरुत्व बल (परिमाण) होय.

दिलेले : m_E = = 6 x 10²⁴ kg, r = 1.5 x 10¹¹ m, F = 3.5 x 10²² N, G = 6.7 x 10^-11 Nm²/kg² , m_S = ?

F = \(\frac{Gm_Em_S}{r^2}\)

∴ m_S = \(\frac{Fr^2}{Gm_E}=\frac{3.5×10^{22}×(1.5×10^{11})^2}{6.67×10{-11}×6×10^{24}}\)

= 1.968 x 10³⁰ kg

m_S = 1.968 x 10³⁰ kg (सूर्याचे वस्तुमान).