Solutions
प्रश्न 1. सविस्तर उत्तरे लिहा.
(अ) गतिज ऊर्जा व स्थितिज ऊर्जा यांमधील फरक स्पष्ट करा.
| गतिज ऊर्जा | स्थितिज ऊर्जा |
| पदार्थांच्या गतिमान अवस्थेमुळे पदार्थास प्राप्त झालेल्या ऊर्जेस गतिज ऊर्जा म्हणतात. | पदार्थाच्या विशिष्ट स्थितीमुळे किंवा स्थानामुळे त्यात जी ऊर्जा सामावलेली असते तिला स्थितिज ऊर्जा म्हणतात |
| गतिज ऊर्जा ही एकाच स्वरूपात असून, कार्य घडून येण्याकरिता तिचे अन्य प्रकारच्या ऊर्जेतरूपांतर होणे आवश्यक नसते. | स्थितिज ऊर्जा ही गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, विद्युत स्थितिज ऊर्जा यांसारख्या विविध स्वरूपांत असते व तिचे गतिज ऊर्जेत रूपांतरझाल्याखेरीज कार्य होत नाही. |
| गतिज ऊर्जा = mv2 | गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा = mgh |
| गतिज ऊर्जा ऋण असू शकत नाही | स्थितिज ऊर्जा ' ऋण असू शकते. |
| उदाहरणे : धावती आगगाडी, वारा | उदाहरणे : धरणात साठवलेल्या पाण्याला स्थितिज ऊर्जा असते. ताणलेल्या स्प्रिंगला स्थितिज ऊर्जा असते. |
(आ) पदार्थाचे वस्तु मान m असून तो v या वेगाने जात असल्यास गतिज ऊर्जेचे सूत्र तयार करा.
समजा m वस्तु मानाची एक वस्तू स्थिर अवस्थेत असून लावलेल्या बलामुळे ती गतिमान झाली. u हा तिचा आरंभिक वेग (येथे u = 0) अहे. त्या वस्तूवर F एवढे बल लावल्याने त्या वस्तूत a एवढे त्वरण निर्माण झाले व t कालावधीनंतर तिचा अंतिम वेग v झाला. या कालावधीत तिचे झालेले विस्थापन s आहे.
v2 = u2 + 2as ……(गतीविषयक समीकरण)
∴ v2 − u2 = 2as
∴ s = \(\frac{v^2-u^2}{2a}\) …….(1)
या वस्तूवर कार्यरत असणारे एकूण बल F असेल व त्या बलाने केलेले कार्य W असेल, तर
W = Fs ……(2)
आता, F = ma ……(3)
समीकरणे (1), (2) व (3) वरून,
W = ma × \(\frac{v^2-u^2}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)m(v2 − u2)
वस्तू सुरुवातीला विराम अवस्थेत असल्यास, u = 0
∴ W = \(\frac{1}{2}\)mv2 ऊर्जा म्हणजे कार्य करण्याची क्षमता.
∴ वस्तूची गतिज ऊर्जा = \(\frac{1}{2}\)mv2
(इ) उंचीवरून जमिनीवर मुक्तपणे पडणाऱ्या वस्तूची अंतिम ऊर्जा ही त्या वस्तूच्या प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जेचेच रूपांतरण आहे हे सिद्ध करा.
आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे समजा A हा बिंदू जमिनीपासून h उंचीवर आहे. m वस्तुमान असलेली वस्तू A बिंदूपासून B बिंदूपर्यंत आली असता ती x एवढे अंतर जाते, C हा बिंदू जमिनीवर आहे. वस्तूची A, B व C बिंदूपाशी असणारी ऊर्जा पाहू.
वस्तू सुरुवातीस विराम अवस्थेत आहे. वस्तू A या स्थानापासून सोडल्यावर गुरुत्व त्वरणाने ती ABC या मार्गाने मुक्तपणे खाली पडते असे मानू. येथे वस्तूवर क्रिया करणारे हवेचे प्लावक बल तसेच वस्तूच्या गतीला होणारा हवेचा विरोध विचारात घेतलेला नाही.
(1) वस्तू A या स्थानी असताना u (सुरुवातीचा वेग) = 0
∴ वस्तूची गतिज ऊर्जा = \(\frac{1}{2}\)mu2
वस्तूची स्थितिज ऊर्जा = mgh, येथे, g = गुरुत्व त्वरण.
∴ वस्तूची एकूण ऊर्जा = 0 + mgh = mgh
(2) वस्तू B या स्थानी असताना,
v12 = u2 + 2gx = 2gx … ( u = 0)
येथे v1 = वस्तूचा वेग व x = AB
∴ वस्तूची गतिज ऊर्जा = \(\frac{1}{2}\)mv12 = \(\frac{1}{2}\)m(2gx) = mgx
वस्तूची स्थितिज ऊर्जा = mg(h — x) = mgh — mgx
∴ वस्तूची एकूण ऊर्जा mgx + mgh — mgx = mgh
(3) वस्तू C या स्थानी असताना वस्तूचा वेग v असल्यास
v2 = u2 + 2gh = 2gh ….(A स्थानी u = 0)
∴ वस्तूची गतिज ऊर्जा = \(\frac{1}{2}\)mv2 = mgh = वस्तूंची A या स्थानी असतानाची स्थितिज ऊर्जा
C या स्थानी वस्तूची स्थितिज ऊर्जा = 0 (वस्तू जमिनीवर असल्यामुळे)
∴ वस्तूची एकूण ऊर्जा = mgh + 0 = mgh
यावरून असे दिसते की, वस्तू मुक्तपणे खाली पडत असताना तिची एकूण ऊर्जा कायम राहते.
(ई) बलाच्या दिशेच्या 300 कोनांत विस्थापन झाले असता केलेल्या कार्याचे समीकरण काढा.
समजा, O या बिंदूशी असलेल्या एका वस्तूवर \(\vec{F}\) हे स्थिर बल प्रयुक्त केले असता त्या वस्तूचे \(\vec{S}\) एवढे विस्थापन होते व बल आणि विस्थापन यांच्यामधील कोन θ आहे. (आकृती )
वस्तूचे विस्थापन O→P, बलाची दिशा O→Q
आकृतीवरून, cos θ = \(\frac{OR}{OQ}\)
∴ OR = OQ cos θ = F cos θ
येथे विस्थापनाच्या दिशेत वस्तूवर क्रिया करणारे बल = F cos θ
.'. बलाने वस्तूवर केलेले कार्य (F cos θ) s = Fs cos θ
θ = 30° असल्यास कार्य (W) = F s cos 30°
= Fs\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
F cos θ हा बलाचा विस्थापनेच्या दिशेतील घटक होय.
s cos θ हा विस्थापनाचा बलाच्या दिशेतील घटक होय.
(उ) एखाद्या वस्तूचा संवेग शून्य असताना वस्तूला गतिज ऊर्जा असते का? स्पष्ट करा.
वस्तूचा संवेग, P = mv, येथे m = वस्तूचे वस्तुमान व v = वस्तूचा वेग होय.
वस्तूची गतिज ऊर्जा, K = \(\frac{1}{2}\)mv2 = \(\frac{m^2v^2}{2m}=\frac{P^2}{2m}\)
P = 0 शून्य असल्यास K = 0, म्हणजेच वस्तूचा संवेग शून्य असल्यास तिची गतिज ऊर्जाही शून्य असते.
(ऊ) वर्तुळाकार गतीत फिरत असलेल्या वस्तूचे कार्य शून्य का असते ?
- वस्तूवर क्रिया करीत असलेले बल आणि वस्तूचे विस्थापन यांच्या दिशा एकच असताना बलाने केलेले कार्य धन असते. वस्तूवर क्रिया करीत असलेले बल आणि वस्तूचे विस्थापन यांच्या दिशा परस्परविरुदूध असताना बलाने केलेले कार्य ऋण असते.
- परंतु वस्तू एकसमान चालीने वर्तुळाकार गतीत फिरत असताना वस्तूवर क्रिया करीत असलेले बल आणि वस्तूचे विस्थापन एकमेकांना लंब असल्याने बलाने केलेले कार्य शून्य असते. येथे वस्तूवरील बल वर्तुळाच्या केंद्राच्या दिशेने असते, तर वस्तूचे विस्थापन स्पर्शिकेच्या दिशेने असते. तसेच वस्तूवर बल लावले असताना वस्तूचे विस्थापन होत नसल्यास बलाने केलेले कार्य शून्य असते.
प्रश्न 2. खालील पर्यायातून एक वा अनेक अचूक पर्याय निवडा.
(अ) कार्य घडून येण्यासाठी ऊर्जा ...... व्हावी लागते.
(1) स्थानांतरित
(2) अभिसारित
(3) रूपांतरित
(4) नष्ट
(1) स्थानांतरित , (3) रूपांतरित
(आ) ज्यूल हे एकक ..... चे आहे.
(1) बल
(2) कार्य
(3) शक्ती
(4) ऊर्जा
(2) कार्य, (4) ऊर्जा
(इ) एखादी जड वस्तू क्षितिजसमांतर दिशेने गुळगुळीत पृष्ठभागावरून ओढत असताना ........ बलाची परिमाणे सारखी असतात?
(1) क्षितिज समांतर दिशेने प्रयुक्त केलेले बल
(2) गुरुत्वीय बल
(3) उर्ध्वगामी दिशेने असलेले प्रतिक्रिया बल
(4) घर्षण बल
(2) गुरुत्वीय बल , (3) उर्ध्वगामी दिशेने असलेले प्रतिक्रिया बल
(ई) शक्ती म्हणजे ...... होय.
(1) कार्य जलद होण्याचे प्रमाण
(2) कार्यासाठी लागणाऱ्या ऊर्जेचे प्रमाण
(3) कार्य मंद होण्याचे प्रमाण
(4) वेळेचे प्रमाण
(1) कार्य जलद होण्याचे प्रमाण, (3) कार्य मंद होण्याचे प्रमाण
(उ) एखादी वस्तू उचलत असताना किंवा ओढत असताना ऋण कार्य ...... बलामुळे घडून येते.
(1) प्रयुक्त केलेले बल
(2) गुरुत्वीय बल
(3) घर्षण बल
(4) प्रतिक्रिया बल
(2) गुरुत्वीय बल, (3) घर्षण बल
प्रश्न 3. विधानाखालील योग्य पर्याय निवडून पुढील विधाने स्पष्टीकरणासह लिहा .
(अ) तुमच्या शरीराची स्थितिज ऊर्जा कमीत कमी असते, जेव्हा तुम्ही ........ असता.
(1) खुर्चीवर बसलेले
(2) जमिनीवर बसलेले
(3) जमिनीवर झोपलेले
(4) जमिनीवर उभे
(3) जमिनीवर झोपलेले
(आ) एखादी वस्तू जमिनीवर मुक्तपणे पडत असल्यास तिची एकूण ऊर्जा ...
(1) कमी होते
(2) स्थिर असते
(3) वाढते
(4) सुरुवातीस वाढते व नंतर कमी होते.
(2) स्थिर असते
(इ) सपाट पृष्ठभागावरील रस्त्याने गतीमान असलेल्या मोटारगाडीचा वेग, तिच्या मूळ वेगाच्या 4 पट वाढवल्यास मोटार गाडीची स्थितिज ऊर्जा ......
(1) मूळ ऊर्जेच्या दुप्पट होईल
(2) बदलणार नाही
(3) मूळ ऊर्जेच्या चारपट होईल
(4) मूळ ऊर्जेच्या 16 पट होईल
(2) बदलणार नाही
(ई) वस्तूवर घडून येणारे कार्य ........ वर अवलंबून नसते.
(1) विस्थापन
(2) लावलेले बल
(3) वस्तूचा आरंभीचा वेग
(4) बल व विस्थापन यांच्या दिशेतील कोन
(3) वस्तूचा आरंभीचा वेग
प्रश्न 4. खालील कृती अभ्यासा व विचारलेल्या प्रश्नांची उत्तरे लिहा.
कृती : (1) दोन वेगवेगळ्या लांबीची ॲल्युमिनियमची पन्हाळी घ्या . (2) दोन्ही पन्ह ळ्याची वरील टोके समान उंचीवर ठेवा व खालील टोके जमिनीला स्पर्श करतील अशी व्यवस्था करा. (3) आता दोन समान आकारांचे आणि वजनांचे चेंडू एकाच वेळी दोन्ही पन्हाळ्यांच्या वरच्या टोकापासून सोडा. ते घरंगळत जाऊन सारखीच अंतरे पार करतील.
प्रश्न :
(1) चेंडू सोडण्याच्या स्थितीवेळी चेंडूमध्ये कोणती ऊर्जा असते?
स्थितिज ऊर्जा
(2) चेंडू खाली घरंगळत येत असताना कोणत्या ऊर्जेचे कोणत्या ऊर्जेत रूपांतरण होते?
स्थितिज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेत रूपांतरण होते
(3) चेंडू घरंगळत जाऊन सारखेच अंतर का पार करतात?
दोन्ही चेंडूंची सुरुवातीची स्थितिज ऊर्जा समान असल्याने ते घरंगळत जमिनीच्या पातळीला आल्यावर त्यांचे वेगही समान असतात. म्हणून ते सारखेच अंतर पार करतात.
(4) चेंडूमध्ये असलेली अंतिम एकूण ऊर्जा ही कोणती असते?
चेंडू घरंगळत जाऊन थांबल्यावर त्याची एकूण ऊर्जा शून्य असते
(5) वरील कृतीतून तुम्हाला ऊर्जेसंबंधी कोणता नियम सांगता येतो? स्पष्ट करा.
घर्षण बल शून्य असेल तरच कोणत्याही वेळी एकूण ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = स्थिरांक (ऊर्जा अक्षय्यतेचा नियम).
प्रत्यक्षात घर्षण बलामुळे चेंडूच्या अंगी ऊर्जा कमी कमी होत जाऊन शेवटी शून्य होईल.
प्रश्न 5. उदाहरणे सोडवा.
(अ) एका विद्युत पंपाची शक्ती 2 kW आहे. तो पंप प्रति मिनिटाला किती पाणी 10 m उंचीपर्यंत उचलू शकेल?
दिलेले : P = 2 kW = 2000 J/s, t = 60s, h = 10m, g = 9.8 m/s2, m = ?
P = \(\frac{W}{t}=\frac{mgh}{t}\)
∴ m = \(\frac{Pt}{gh}=\frac{2000×60}{9.8×10}\) = 1224 kg
(आ) जर 1200 W ची इस्त्री प्रति दिवसाला 30 मिनिटकरिता वापरली जात असेल तर एप्रिल महिन्या मध्ये इस्त्री ने एकूण वापरलेली वीज काढा.
दिलेले : P = 1200 W
t = 30 मिनिट/दिवस = (30 x 30) मिनिट/महिना
= 900 मिनिट/महिना = 900 x 60 सेकंद/महिना = 54000 s
W = Pt = 1200 x 54000 = 6.48 x 107 J = \(\frac{6.48×10^7}{3.6×10^6}\) = 18 units
(इ) 10 m उंचीवरून जमिनीवर पडलेल्या चेंडूची ऊर्जा जमिनीवर आदळताच 40 टक्क्यांनी कमी होते तर तो किती उंचीपर्यंत उसळी घेईल?
दिलेले : h1 = 10 m, E2 = E1 – E1 x 40/100 = E1(1 - 0.4) = 0.6 E1, h2 = ?
E1 = mgh1, E2 = mgh2 = 0.6 mgh1
∴ h2 = 0.6 h1 = 0.6 x 10 = 6 m
(ई) एका मोटारीचा वेग 54 km/hr पासून 72 km/hr झाला. जर मोटारीचे वस्तुमान 1500 kg असेल तर वेग वाढविण्यासाठी किती कार्य करावे लागेल ते सांगा.
दिलेले : m = 1500 kg, u = 54 km/h = 54000 m/3600 s = 15 m/s,
v = 72 km/h = 72000 m/3600 s = 20m/s, W = ?
W = गतिंज ऊर्जेतील वाढ = \(\frac{1}{2}\)mv2 − \(\frac{1}{2}\)mu2 = \(\frac{1}{2}\)m(v2 – u2)
= \(\frac{1}{2}\) x 1500 x (202 – 152)
= 750 x (400 — 225) J = 750 x 175 J
= 131250 J
(उ) रवीने एका पुस्तकाला 10 N इतके बल लावले असता त्या पुस्तकाचे बलाच्या दिशेने 30 सेंमी इतके विस्थापन झाले तर रवीने केलेले कार्य काढा.
दिलेले : F = 10 N, s = 30 cm = 0.3 m, W = ?
कार्य W = Fs = 10 x 0.3 = 3 J
रवीने केलेले कार्य = 3 J.